หลักทางคณิตศาสตร์ > สัจพจน์ความบริบูรณ์ (Axiom of Completeness)

บทนิยาม


1   กำหนดให้ 
S  เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง  และ  S    Æ  เรียก                                                 จำนวนจริง  a  ว่าเป็นขอบเขตบน  (upper bound)  ของ  S  ถ้า  a  ³  x                                         สำหรับทุก  x  ΠS

               

บทนิยาม          

2   กำหนดให้  S  เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง  และ  S    Æ  เรียก                                                     จำนวนจริง  b  ว่าเป็นขอบเขตล่าง  (lower bound)  ของ  S  ถ้า  b  £  x                                                สำหรับทุก  x  ΠS

               

บทนิยาม          

3   กำหนดให้  S  เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง  และ  S    Æ  เรียก                                                     จำนวนจริง  a  ว่าเป็นขอบเขตบนน้อยสุด  (least upper bound)  ของ  S                                              ซึ่งเขียนว่า  a  =  l.u.b. (S)  ก็ต่อเมื่อ

                                                 1.  a  เป็นขอบเขตบนของ  S  และ

                                                 2.  ถ้า  c  เป็นขอบเขตบนใด ๆ  ของ  S  แล้ว  a  £  c

บทนิยาม          

4   กำหนดให้  S  เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง  และ  S    Æ  เรียก                                                     จำนวนจริง  b  ว่าเป็นขอบเขตล่างมากสุด  (greatest lower bound)  ของ                                            S  ซึ่งเขียนว่า  b  =  g.l.b. (S)  ก็ต่อเมื่อ

                                                 1.  b  เป็นขอบเขตล่างของ  S  และ

                                                 2.  ถ้า  c  เป็นขอบเขตล่างใด ๆ  ของ  S  แล้ว  c  £  b

สัจพจน์ความบริบูรณ์  (axiom of completeness)

                กำหนดให้  R  แทนเซตของจำนวนจริง  และ  S  Ì  R  โดยที่  S  ¹  Æ

                1.  ถ้า  S  เป็นเซตที่มีขอบเขตบนแล้ว  S  จะมีขอบเขตบนน้อยสุดใน  R

                2.  ถ้า  S  เป็นเซตที่มีขอบเขตล่างแล้ว  S  จะมีขอบเขตล่างมากสุดใน  R

หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์  1  (Principle of Mathematical Induction 1 : PMI 1)

                กำหนดข้อความ  P (n)  ถ้า

                1.  P (1)  เป็นจริง  และ

                2.  ถ้า  P (k)  เป็นจริง  เมื่อ  k  เป็นจำนวนนับใด ๆ  แล้ว  P (k + 1)  เป็นจริง

                     แล้ว  P (n)  จะเป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ  n

หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์  2  (Principle of Mathematical Induction 2 : PMI 2)

                กำหนดข้อความ  P (n)  ถ้า

          1.  P (n0)  เป็นจริง  เมื่อ  n0  เป็นจำนวนนับบางจำนวน
                2. ถ้า  P (k)  เป็นจริง สำหรับทุกจำนวนนับ  k  ³  n0  แล้ว  P (k + 1)  เป็นจริง
                     แล้ว  P (n)  จะเป็นจริง  สำหรับทุกจำนวนนับ  n  ³  n0 

 






หลักทางคณิตศาสตร์:    สัจพจน์ความบริบูรณ์ (Axiom of Completeness) | ค่าเชิงอนุพันธ์ |
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม | ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน | กราฟของความสัมพันธ์ |
ลำดับ (Sequence) | ทฤษฎีกราฟ | Matrices