หลักทางคณิตศาสตร์ > ค่าเชิงอนุพันธ์

ทฤษฎีบท   1     (ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์  :  Fermat’s Theoran)

ถ้า  f  เป็นฟังก์ชันที่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่  xO  แล้ว  f'  (xO)  =  0  หรือ  f  หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่  xO

บทนิยาม     จุดวิกฤตของฟังก์ชัน  f  หมายถึงค่า  x  ใด ๆ  ในโดเมนของ   f   ซึ่งทำให้                        
f
'  (x)  =  0  หรือ  f  หาอนุพันธ์ที่  x  ไม่ได้  จุดวิกฤต  x  ที่ทำให้ f'  (x)  =  0                          
เราเรียกว่า  จุดนิ่ง 
(stationary point)

ทฤษฎีบท   2     (การทดสอบโดยใช้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง  :  First Derivative Test)

กำหนดให้  f  เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดวิกฤต  xO


                                                                

ถ้ามีช่วง  (a, xO)  และ  (xO , b)  ที่ทำให้

(1)   f'  (x)  >  0  สำหรับทุก  x  Î (a, xO)  และ  f'  (x)  <  0  สำหรับทุก 

                                        x  Î (xO , b)  แล้ว  f  จะมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่  xO

(2)   f'  (x)  <  0  สำหรับทุก  x  Î (a, xO)  และ  f'  (x)  >  0  สำหรับทุก 

                                        x  Î (xO , b)  แล้ว  f  จะมีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่  xO

(3)   f'  (x)  <  0  สำหรับทุก  x  Î (a, xO)  และ  f'  (x)  <  0  สำหรับทุก 

                                        x  Î (xO , b)  หรือ  f'  (x)  >  0  สำหรับทุก  x  Î (a, xO)  และ  f'  (x)  > 0   สำหรับทุก  x  Î (xO , b)  แล้ว  f  จะไม่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่  xO

ทฤษฎีบท   3     (การทดสอบโดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง  :  Second Derivative Test)

สมมติให้  f  เป็นฟังก์ชันที่มี  xO  เป็นจุดวิกฤตแบบจุดนิ่ง  และเป็นฟังก์ชันที่หา                   อนุพันธ์อันดับสองที่  xO  ได้

(1) ถ้า f"  (xO)  <  0  แล้ว  f  จะมีค่าต่ำสุด สัมพัทธ์ ที่xO 

(2)  ถ้า  f"  (xO)  <  0  แล้ว  f  จะมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่  xO 

บทนิยาม           ถ้า  f (xO)  ³  f (x)  สำหรับทุก  x  ในโดเมนของ  f  แล้ว  เราจะเรียก  f (xO)  ว่าเป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์  ของ  f  หรือเรียกสั้น ๆ  ว่า  ค่าสูงสุดของ  f

บทนิยาม           ถ้า  f (xO)  £  f (x)  สำหรับทุก  x  ในโดเมนของ  f  แล้ว  เราจะเรียก  f (xO)  ว่าเป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์  ของ  f  หรือเรียกสั้น ๆ  ว่า  ค่าต่ำสุดของ  f

บทนิยาม           จำนวนซึ่งเป็นค่าสูงสุด หรือเป็นค่าต่ำสุดของ  f  เรียกว่า  ค่าสุดขีดสัมบูรณ์  ของ f  หรือเรียกสั้น ๆ  ว่า  ค่าสุดขีดของ  f

ทฤษฎีบท   4     (ทฤษฎีบทค่าสุดขีด  :  Extreme-Value Theorem)                      

ถ้า  f  เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด  [a, b]  แล้ว  f  จะมีทั้งค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดบนช่วง  [a, b]

ทฤษฎีบท   5     ถ้า  f  เป็นฟังก์ชันที่มีค่าสุดขีดบนช่วงเปิด  (a, b)  แล้ว  ค่าสุดขีดของ  f  จะ                                                เกิดขึ้นที่จุดวิกฤตของ  f

ทฤษฎีบท   6     (ทฤษฎีบทของโรลล์)

กำหนดให้  f  เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเงื่อนไขทั้งสามข้อต่อไปนี้

(1)  f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง บนช่วงปิด[a,b]
(2)  f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด (a,b)
(3)   f (a)  =  f (b)จะได้ว่า มีจำนวนจริง  c  Î (a, b)  ที่ทำให้  f'  (c)  =  0

ทฤษฎีบท   7     (ทฤษฎีบทค่ามัชฌิม)

กำหนดให้  f  เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเงื่อนไขทั้งสองข้อต่อไปนี้

(1)   f  เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด  [a, b]

(2)   f  เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด  (a, b)

จะได้ว่า มีจำนวนจริง  c  Î (a, b)  ที่ทำให้ 

                                                        

                                                                               

ทฤษฎีบท   8     กำหนดให้  f  เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนช่วงปิด  [a, b]  และเป็นฟังก์ชันที่หา                                          อนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด  (a, b)

(1)   ถ้า f' (x) > 0 สำหรับทุก x Î(a, b) แล้ว f จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วงปิด [a, b]

(2)   ถ้า f' (x) < 0 สำหรับทุก x Î(a, b) แล้ว f จะเป็นฟังก์ชันลดบนช่วงปิด [a, b]

(3)   ถ้า f' (x) = 0 สำหรับทุก x Î(a, b) แล้ว f จะเป็นฟังก์ชันคงตัวบนช่วงปิด[a, b]






หลักทางคณิตศาสตร์:    สัจพจน์ความบริบูรณ์ (Axiom of Completeness) | ค่าเชิงอนุพันธ์ |
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม | ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน | กราฟของความสัมพันธ์ |
ลำดับ (Sequence) | ทฤษฎีกราฟ | Matrices